Nombres Harmo­niques

Ils représentent des notes et non des intervalles




À quoi servent les nombres harmoniques


Une alternative pour remplacer les rapports de fréquences

Les nombres harmoniques permettent de se représenter plus facilement les notes: s'il faut réfléchir un peu pour comprendre que 3/2 est un intervalle plus grand que 4/3, on voit par contre immédiatement, sans chercher à comprendre, que 36 est une note plus aigue que 32...



Marin Mersenne


Traité de l'Orgue de Marin Mersenne

Les nombres harmoniques ont été utilisés par le père Marin Mersenne (1588 - 1648) pour la description de ses claviers naturels dans son "Traité de l'Orgue".



Comment calculer les nombres harmoniques


Pour convertir des rapports en nombres harmoniques

Par exemple 1/1   9/8   5/4   4/3   3/2   5/3   15/8   2/1

• enlever les numérateurs (il reste 1   8   4   3   2   3   8   1)

• enlever les 1 (il reste 8   4   3   2   3   8)

• enlever les doublons (il reste 8   4   3   2)

• Trouver le PPCM (Plus Petit Commun Multiple)


Pour trouver le Plus Petit Commun Multiple

① décomposer chaque nombre (s'il n'est pas déjà un nombre premier) en produits de nombres premiers:

8 = 2 x 2 x 2

4 = 2 x 2

3

2


② écrire la même chose sous forme de puissances:

2 x 2 x 2 = 23

2 x 2 = 22

3 = 31

2 = 21


③ quand un nombre apparaît plusieurs fois, ne garder que sa version avec la puissance la plus élevée:

23 = 8

31 = 3


④ Multiplier entre eux les nombres qui restent (ici c'est 8 par 3):

8 x 3 = 24


Pour continuer à convertir en nombres harmoniques

• multiplier chaque rapport par le PPCM (ici c'est 24 ):

- 1/1 x 24 = 24

- 9/8 x 24 = 27

- 5/4 x 24 = 30

- 4/3 x 24 = 32

- 3/2 x 24 = 36

- 5/3 x 24 = 40

- 15/8 x 24 = 45

- 2/1 x 24 = 48


Revenir aux rapports de fréquences

Ensuite on peut réintroduire les rapports, par exemple pour connaître l'intervalle entre 36 et 45:

45/36 = 5/4 (on peut aussi faire "15/8 ÷ 3/2")

45 ÷ 36 = 1.25 (touche "d/c" de la calculatrice: 1.25 → 5/4)



Autre exemple de nombres harmoniques


La gamme chromatique

Voici les nombres harmoniques des 12 notes de la gamme "pythagoricienne" chromatique:

124416  131072  139968  147456  157464  165888  177147  186624  196608  209952  221184  236196




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