Calculs Microtonals

Les formules à connaître avec une calculatrice scientifique simple




Une petite précision

La musique ce n'est pas des maths. Elle se rapporte aux émotions, et aussi à l'intuition quand on improvise.

S'il y a cependant un aspect mathématique dans la musique, il ne faut pas en déduire que c'est "sec", "froid", "intellectuel", "sans feeling" ou je-ne-sais-quoi encore!

Il faut bien se mettre dans la tête que quand un musicien microtonal conçoit ou accorde un instrument il se sert de sa science, mais quand il joue il oublie tout ça et "vibre" comme n'importe quel musicien inspiré peut le faire...



La calculatrice


Nous utiliserons une calculatrice scientifique de type CASIO fx-92 "Collège".

calculatrice casio

(Attention: il est écrit "=" pour simplifier, en fait il s'agit de la touche "EXE").

Les résultats qui s'affichent sur la calculatrice sont ici écrits en noir et surlignés en vert.

Pour obtenir "" (racine): taper "SECONDE" puis "^".

Pour obtenir "/" appuyer sur la touche "d/c".

Les caractères bleus se tapent avec les touches bleues de la calculatrice.

Les caractères verts avec les touches vertes.


Quand rien n'est spécifié, le nombre de décimales "Fix" est réglé à 9:

1. Appuyer sur la touche "MODE" → COMP  SD  EQN

2. Appuyer une 2ème fois sur la touche "MODE" → Deg  Rad  Gra

3. Appuyer une 3ème fois sur la touche "MODE" → Fix  Sci  Norm

4. Appuyer sur la touche "1" → Fix 0~9?

5. Et enfin sur la touche "9" → 0.000000000


Principes de base

Pour trouver les notes

Quand on multiplie (ou divise) la fréquence d'un DO par 2, 4, 8, 16, etc... on retombe sur la même note.

Quand on la multiplie par 3, 6, 12, 24, etc...on obtient SOL.

Quand on divise par les mêmes nombres on obtient FA (la 4te est le renversement de la 5te!).

Quand on multiplie par 5, 10, 20, 40, etc...on obtient MI.

ATTENTION: ces notes ne sont pas tempérées!


Pour trouver un rapport (= intervalle) à partir de 2 fréquences (660 et 440 hertz):

660 / 440 = 3/2 (660 est la quinte de 440)

660 ÷ 440 = 1.5 ( → d/c 3/2)


La Formule Magique "ratio → cents"

Pour traduire un rapport (ici 3/2) en cents:

log 3 / 2 ÷ log 2 x 1200 = 701.9550008.



Pour mettre la formule en mémoire:

Taper "Y = log X ÷ log 2 x 1200".

Appuyer sur CALCX?, attribuer à X le rapport désiré (en tapant par exemple 3 / 2), puis appuyer sur =701.9550008 cents.

CALCX?5 / 4 = 386.3137138 cents.

CALCX?7 / 4 = 968.8259064 cents.

Etc...

La mémoire s'efface quand on éteind la calculatrice.


Raccourci

Un ancien élève (Fabien Ballon) m'a fait remarquer qu'on pouvait utiliser indifféremment le logarithme de base 10 ou le logarithme népérien, mais qu'en musique il était plus pertinent d'utiliser le logarithme de base 2. Et que comme celui ci n'était pas dans la calculatrice on pouvait faire le "bricolage" suivant: 1 ÷ log 2 x 1200  SECONDE  ENTMEM  A3986.313713.

Ce résultat est mémorisé dans la mémoire A: la mémoire ne s'efface pas quand on éteind la calculatrice, mais par contre il faudra tout recommencer le jour où on changera la pile.

Il suffit ensuite de taper ALPHA  A  log 3 / 2  =701.9550008 cents.

ATTENTION: utiliser toujours le même logarithme que celui qui a été programmé!



Opérations


Multiplication

La quinte de "440 hertz":

440 x 3 / 2 =660 hertz.


Division

De quoi "660 hertz" est la quinte:

660 ÷ 3 / 2 =440 hertz.


Le rapport entre 5/4 et 3/2:

5 / 4 ÷ 3 / 2 =5/6 (= 5/3).


Renversement

On intervertit les nombres:

Le renversement de 3/2 est 2/3 (= 4/3 si on multiplie le numérateur par 2, 4, 8, etc...jusqu'à ce qu'il soit plus grand que le dénominateur).


Tout ramener dans l'octave ou dans la 3ème harmonique?

On peut bien évidemment structurer la série des harmoniques par la 2ème harmonique (2 x 2 x 2 x 2 x etc... = 2ème, 4ème, 8ème, 16ème, etc...) mais il faut savoir que 440 hertz est une autre note que 880 hertz, même si ces notes s'appellent toutes les deux "LA"!

On pourrait tout aussi bien structurer (comme en Bohlen-Pierce) la série des harmoniques par la 3ème harmonique (3 x 3 x 3 x 3 x etc... = 3ème, 9ème, 27ème, 81ème, etc...): ainsi la 20ème harmonique, "compressée" dans la 3ème harmonique, donnerait le rapport 20/9 au lieu de 20/16!



Savarts

Pour traduire un rapport (ici l'octave) en savarts:

log 2 / 1 x 1000 =301.0299957 savarts.


Pour convertir des savarts (à condition que le nombre ne soit pas arrondi!) en cents:

301.0299957 ÷ 1000 ÷ log 2 x 1200 =1200 cents.


Cents en savarts:

1200 ÷ 1200 x log 2 x 1000 =301.0299957 savarts.



Cents

1 cent de plus par rapport à 440 hertz ( = SECONDE ^):

440 x 1200 2 =440.2542274 hertz.


1 cent de moins:

440 ÷ 1200 2 =439.7459194 hertz.


2 cents de plus:

440 x 1200 2 ^ 2 =440.5086017 hertz.



Demi-tons

1/2 ton tempéré de plus:

440 x 12 2 =466.1637615 hertz(= LA# ou SIb tempéré).


1/2 ton tempéré de moins:

440 ÷ 12 2 =415.3046976 hertz (= LA# ou SOLb tempéré).


Tons

1 ton (= deux 1/2 tons) tempéré de plus:

440 x 12 2 ^ 2 =493.8833013 hertz.

440 x 6 2 =493.8833013 hertz.



Divisions de l'octave en parties égales

19 parties égales à partir de 440 hertz:

440 = 440.0 x Ansx 19 2 = 456.3 = 473.3 = 490.9 = 509.1 = 528.0 = 547.7 = 568.0 = 589.1 = 611.0 = 633.7 = 657.3 = 681.7 = 707.0 = 733.3 = 760.5 = 788.8 = 818.1 = 848.5 = 880.0 (on appuie 19 fois sur = pour faire défiler les fréquences, la 19 ème fois on arrive à 880 hertz, c'est à dire à l'octave de 440 hertz).

Le nombre de décimales "Fix" réglé à 1 sur la calculatrice en appuyant 3 fois sur la touche "MODE" puis 2 fois sur la touche "1".

Valeur en cents de chaque intervalle:

1200 ÷ 19 =63.2



Divisions de la 3ème harmonique en parties égales

13 parties égales à partir de 440 hertz:

440 = 440.0 x Ansx 13 3 = 478.8 = 521.0 = 567.0 = 617.0 = 671.4 = 730.6 = 795.0 = 865.1 = 941.4 = 1024.4 = 1114.7 = 1213.0 = 1320.0 (on appuie 13 fois sur = pour faire défiler les fréquences, la 13ème fois on arrive à 1320 hertz, c'est à dire à la 3ème harmonique de 440 hertz).

Le nombre de décimales "Fix" réglé à 1 sur la calculatrice.

Valeur en cents de chaque intervalle:

1902 ÷ 13 =146.3


Sur une corde

Pour trouver, à partir d'une corde à vide, la note correspondant à 9/8:

On divise la corde en 9 parties égales, ensuite on compte 8 parties à partir du chevalet: on a ainsi la 2de majeure pythagoricienne!


Le Limite 3 (Sumer, Chine, Égypte, Pythagore)

Quintes de quintes ramenées dans une octave (les 12 LÜ):

1/1

3/2

9/8

27/16

81/64

243/128

729/512

2 187/2 048

6 561/4 096

19 683/16 384

59 049/32 768

177147/ 31 072


9/8, 81/64, 729/512, 6 561/4 096 et 59 049/32 768 ont été abaissés d'une octave.

(Sinon on aurait eu 9/4, 81/32, 729/256, 6 561/2 048 et 59 049/16 384).


Le Limite 5 (ou "gamme des physiciens")

Certains, pour jouer en accords, multiplient la fondamentale de chaque accord par 5/4 (3ce M) ou par 6/5 (3ce m) plutôt que par 81/64 et 32/27. À la "Zarlino" (mais le système était déjà connu de Ptolémée), ils trouvent ainsi les fréquences des notes de la gamme en fonction de la grille d'accompagnement.

Il y a donc, sauf exceptions, autant d'Intonations différentes que de grilles d'accords différentes!




La Cohérence Différencielle de Jacques Dudon


Nombres premiers élevés

La Cohérence Différencielle est une nouvelle théorie de la consonance basée sur l'intégration des sons différenciels, qui peut justifier l'emploi, en Intonation Juste, de nombres premiers élevés.


Principe

Pour simplifier: quand on superpose 2 sons il s'en crée un 3ème dans le grave. (En fait il ne s'en crée pas qu'un seul: on parle de "1er ordre", "2ème ordre" et "3ème ordre"). Il s'en crée aussi dans l'aigu, mais là ce ne sont plus des sons différenciels!


Exemple

Pour trouver la fréquence d'un son différenciel de 1er ordre (par exemple celui de la 3ce neutre 59/48): taper sur la calculatrice 59 / 48 - 1 = 11/48. On obtient le même résultat sans calculatrice en remplaçant 59 par le résultat de la soustraction "59 - 48".

Pour ramener dans l'octave (c'est utile pour se faire une idée de la note): 59 / 48 - 1 = 11/48 x Ans x 2 = 11/24 = 11/12 = 11/6: le son différentiel produit par 59/48 et 1/1 est 11/6 (7ème neutre de 1/1) descendu de 3 octaves (car il a fallu appuyer sur = 3 fois consécutives pour que le numérateur soit supérieur au dénominateur).

Moralité: dans un mode Rast il est cohérent (mais il y a d'autres choix possibles) de choisir 59/48 comme 3ce neutre et 11/6 comme 7ème neutre.


Autres exemples

Si on veut savoir quel est le son différenciel de 1er ordre créé par la superposition de 5/4 et de 3/2:

3 / 2 - 5 / 4 (l'aigu moins le grave) = 1/4.

C'est 1/4 de 1/1 (1 X 1/4): par rapport à 5/4 il faut d'abord faire 3 / 2 ÷ 5 / 4 = 6/5.

Ensuite on tape 6 / 5 - 1 = 1/5.

C'est 1/5 de 5/4, et 1/5 X 5/4 = 1/4 (de 1/1).

2ème ordre

(grave X 2) - aigu.

3ème ordre

(grave X 3) - (aigu X 2).


Exercice

D'après ce qui vient d'être dit trouvez vous-même pourquoi, sur un bourdon de 1/1 (et 3/2) la 3ce mineure undévicésimale 19/16 est préférable à la 3ce mineure pythagoricienne 32/27, en tirant sur la corde (mais ça ne marche pas sur une guitare tempérée!) de 3.38 cents, ou 513/512, ou comma de Boèce (qui serait plutôt un schisma!)...

Pour donner sa langue au chat: aeh@free.fr




Remerciements


Merci à Jacques Dudon et Wim Hoogewerf pour les tuyaux mathématiques!

Et à Fabien Ballon (encore lui!): en Bohlen-Pierce la logique est de traduire les rapports de fréquences non en cents, mais en Hekts (1 hekt = racine 1300ème de 3).

Pour 7/3 cela donne log 7 / 3 ÷ log 3 x 1300 = 1002.616873 hekts, mais il serait plus pertinent d'utiliser le logarythme de base 3...



Il n'y a pas que la musique dans la vie


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